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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 `zmET ww  
ch=7Wq^k  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. `4z BG  
vzf2@`D  
　　1、三角函数本质： ~Rrb5r{OA  
xd&vOQ   
　　三角函数的本质来源于定义 o4OM>c g  
&kN, 0cr  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 "9hHF/B  
u8 *( l  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 c!@ GqeA'd  
}g=yaan  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 8z+;q;CgR  
V.i<5Qv  
　　推导： SguJZxG$vy  
{82iC5|  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 _o.!'E^O  
9|71M&{Vi  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) <p&`ABv  
'OGseu=G  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)  E-A>dp  
)#w b "Im  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 jb-) >A6  
`ZF%lQ3m  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） qxQ.~a  
O |5z  
　　[1] RW$~&64|  
ABd;]@O  
　　两角和公式 Q5--:'C  
!L EHmgnd  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 8x> Jir:  
aBo?zh+*&  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  2Lh t0~7#  
l `Uv9p  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB gu :@|OS  
i$LjY)G7/V  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB BECF#i2  
l<OU6 ?..  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 5_q}q`J  
B EH)i7  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) +D4&<a  
hw{"Y;B,n  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)   j/.wVOs  
70$2"f  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) lXjNM+e  
B~{B{0 Fu  
倍角公式 U8i%/ $  
uogj(D9+  
　　Sin2A=2SinA•CosA HQ^ !y"  
<?53ptEc  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 p F ;f  
 Q0,&$I=  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） tE&K=  
;.dHOwL6|3  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） %&8$OTXHu  
X&'WWvJt  
三倍角公式 \?TZC5A   
#(A#s=z{  
　　 98J]Tvz  
&yC{_(8a  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) wpm:-+*.Q  
u+qDymP-  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) nn60lad-9  
n@LA+,  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) @4;ZM\,=9  
b6{u*4U  
三倍角公式推导 @]u[!{wEv^  
C)^p(jY7  
　　sin3a Z3(yKgn8  
7!WPn<Sv  
　　=sin(2a+a) gW;bR:6-|  
9X Jg- ss  
　　=sin2acosa+cos2asina $1`*  
hk/ 8YiE  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ,>Qor.  
Zi=)Us2BRG  
　　=3sina-4sin³a NjrSJO  
^xVNGR)1  
　　cos3a 8p|>l'C  
6T/3^~|A`  
　　=cos(2a+a) 87qQc]M7  
@V)~mJ  
　　=cos2acosa-sin2asina |k$PPq$V1  
5Y5C iYa  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa O*}Ig]]  
CHCuvA5R  
　　=4cos³a-3cosa **9D"zH2g@  
bl/mD   
　　sin3a=3sina-4sin³a \z]:4j  
*dM6-WG,.  
　　=4sina(3/4-sin²a) z NH*I=  
?-nek .  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] sKyKf#Ow  
YDh5  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) _.47ZuC  
Bs%DN?;c  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) p`e2  
_%32^Ay $  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] @W9jae;  
/DXi%s4}dj  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ;C_Xnqa  
nlYz@E9g~<  
　　cos3a=4cos³a-3cosa zA0sv=  
-u/f3T\ f  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Eusj{}x  
yJ^= [rSD  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 2$|1VWQr\  
18C^bjjx  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) QOOID6V  
)MwRqs:M0  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) J;8hlb%G  
\ CbBJQ92  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} DRB_(:")S  
M1;lpMjtr3  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) j{Vf&.!{  
*?#9+}1k-|  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ~nav>  
/eEi\th8  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] oG'"0N  
X qvCbS  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) HTcGZXp@  
 7.'~6  
　　上述两式相比可得 \(P<uJ  
y4&+,v?uFa  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 2Z7p;o  
hp(3;Caf  
半角公式 =.,+# O  
3qpAC(?O  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); BHO +A%  
g*Zyf[AX|  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. QQf[9{ q  
V=__#IM8A  
和差化积 f{O Jl '  
$"mBYS=  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] jYHZ(PNp  
s;#A^/S^Wt  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ,,m.U#  
"%DH=\)jl  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?'u A _P  
.~7,GBB  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] "R1o F+  
=4H-w{lf  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ,VfNi~G>  
[_WTJeS  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ^b"a|k  
T?GS!H]   
积化和差 rOW> 3v  
LcR;(fNG  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] (`]i]#  
lyF~Z}5Q  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] a_ 8rV*=  
&*@(N"s  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] -)Z/(=A6R  
{2ck q  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] \s%tZj n  
5wEUo  
诱导公式 @Yve8h  
OJ+*tX~+H~  
　　sin(-α) = -sinα ghL$DB-G  
cw3} FRV_  
　　cos(-α) = cosα >eQ LSe  
q.UeU9.Wfi  
　　sin(π/2-α) = cosα />qyXHJe-)  
PoG,MRI   
　　cos(π/2-α) = sinα 0A[5jeUp`  
0yA.R {>  
　　sin(π/2+α) = cosα 1dT6U}  
j hNNn5  
　　cos(π/2+α) = -sinα uM^Sd,=Wg  
Y6}9K(X  
　　sin(π-α) = sinα 'A @uewl  
HLs/g   
　　cos(π-α) = -cosα mT1lQ??U  
7By,sf"  
　　sin(π+α) = -sinα v]+0f>aE,  
dofNF{Zf#I  
　　cos(π+α) = -cosα |\VLfY~?M  
+i/_~6"r8  
　　tanA= sinA/cosA <}}Na$[v4  
QlaK&=ZC}:  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα $GxUu|%  
jd8j+6FM  
　　tan（π/2－α）＝cotα j !oyC`|C  
k3(e+4K  
　　tan（π－α）＝－tanα )]8(UHhOZ  
O N %mhN  
　　tan（π＋α）＝tanα W.>)FpK;  
=PZj[mnw  
万能公式 -TzLJUcnV  
#t-+8L Z.+  
　　 K%K*"4<0d  
Jl>$&S  
其它公式 3J'ux4 q  
*O)1y=w_  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 >+ ,@6~B  
Xw m 8]  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 1t ,(p :a  
g{67s/h  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 knlZi8  
bkZ^W@G  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 xJj?y^:}G:  
z!1k*|7M  
　　对于任意非直角三角形,总有 6JO=X5<T`  
3AGo|oAh&  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (7(r:<Lu$  
[BK%L `-  
　　证: |Z|<6RT  
#yNC=0  
　　A+B=π-C DJSFLZ5}  
*vL  
　　tan(A+B)=tan(π-C) tr2_S?Qi  
7d\Fgpcc;  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) >y>v>hu  
DbWHmk+  
　　整理可得 Kd;E y9!  
5ANzE_  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC t lH |  
P!J&O  
　　得证 e, >rG5IY  
cB6ORJm+F  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 V, ~o  
LXr0% +"  
其他非重点三角函数 (W*)H*#Zu  
|nd Shb}  
　　csc(a) = 1/sin(a) N-dp[Y\k+*  
mlH?WD{Ip  
　　sec(a) = 1/cos(a) );HVf?=e  
W{m ~o5=  
　　 sg6uCbA  
m cD~JS  
双曲函数 cS5MR9\  
zva"<3'  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 O?  
F6+i#t6  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 D8A6-K=  
G$<lo{{  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) PW|L#<6Ey  
MT=s^3A  
　　公式一： E{&}JtEw  
k1HfiX  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： KKy7'PY9  
*Fqp^&5q  
　　sin（2kπ＋α）= sinα "%3bbp  
33KcZP G  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 5%t1Zk  
:X( 9$+  
　　tan（kπ＋α）= tanα _?y` ;P  
{{~ac[!OF  
　　cot（kπ＋α）= cotα kwS}IN*-J  
8V8)Hg  
　　公式二： (Ve=vI  
VKoc[k  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： mX =":  
k"7l6v@xf`  
　　sin（π＋α）= -sinα 1:l+=*^xiT  
{RC|L\y#58  
　　cos（π＋α）= -cosα _]i|z  
Sj^Oz'3  
　　tan（π＋α）= tanα Qo6w*T  
m$ Hsx7*)  
　　cot（π＋α）= cotα '~cO?>'XM  
Sm5Pjf@  
　　公式三： l`0Cf^~i  
TB"i= "  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： KhgXB0~[o  
~oZi`io:%  
　　sin（-α）= -sinα 69Z(~z9;  
`vA4CN?q  
　　cos（-α）= cosα Ft fbC6,>L  
AsO&tg  
　　tan（-α）= -tanα `=es LIm]  
JYvSgeL  
　　cot（-α）= -cotα SOd:H  
t6r;&sY'9  
　　公式四： H:C*@}_&N  
8w=4$o2V  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： nSw2"&wkW  
"U0VtX$  
　　sin（π-α）= sinα tEZ1-<oy  
W/=C"+_)  
　　cos（π-α）= -cosα 9;Ah;O{7  
J/] dEV8  
　　tan（π-α）= -tanα B}u1\ W  
t[cdo^Kn  
　　cot（π-α）= -cotα .DkN(r.  
e"M?G_N}  
　　公式五： NS7%G  
fe)Uh  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： S3FS0{w]  
:tiawo/}/  
　　sin（2π-α）= -sinα r3_hN899+  
DGO@)\7r  
　　cos（2π-α）= cosα x""daP{+  
yF E|Ykc  
　　tan（2π-α）= -tanα }6~,e!m  
[7l+xnyY  
　　cot（2π-α）= -cotα Fw >)   
;setR42LG  
　　公式六： ?{#OS"  
t0y+^tD '  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： #&Y%2B*Lu  
"MS|\4 Yw  
　　sin（π/2+α）= cosα j/ E6wZ  
X<T-"}G?(O  
　　cos（π/2+α）= -sinα JM?8`}  
(\|c3:Nm  
　　tan（π/2+α）= -cotα `$gG:&j!  
dv-PT O  
　　cot（π/2+α）= -tanα QB6>wM  
,]PVV%]1  
　　sin（π/2-α）= cosα Gp-9 ?vHM  
-V*%i +E  
　　cos（π/2-α）= sinα !$" q_r  
F-VfTOGT  
　　tan（π/2-α）= cotα L<=O-:q  
%zg'JZXl-  
　　cot（π/2-α）= tanα Mb)Iu  
Z>HAo4/h  
　　sin（3π/2+α）= -cosα *j:rz4v  
(wx&dPETf  
　　cos（3π/2+α）= sinα w3G/=2R  
mFA_ iy'2  
　　tan（3π/2+α）= -cotα &wrAvf1  
\Y|eYo8  
　　cot（3π/2+α）= -tanα yO5Hfh\*w  
m+F!R+  
　　sin（3π/2-α）= -cosα *+`%cRVs=  
Z{,>R. `&U  
　　cos（3π/2-α）= -sinα |;,@OM&aBH  
Nk: l}  
　　tan（3π/2-α）= cotα Ari.pf#Ls  
%<b& (*  
　　cot（3π/2-α）= tanα Z8,:r![  
)b=p,B  
　　(以上k∈Z) sGP8~Vg*  
KSa) *W,6  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Lis4KlnLou  
FlmsUY*  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = F)80V=f  
UwZ|b>G\.  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } YP0HDN&`  
>t:-z (  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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