日历

2025 - 1
日 一 二 三 四 五 六
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031 
«月» 2025 - 1 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 sTZ%0GC  
CtSfN/8  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. -Rv5n+^  
GbJ^"$h  
　　1、三角函数本质： ^6`stEIHS  
P33=_Wql  
　　三角函数的本质来源于定义 g1&cr68Z  
y%8ot  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 w -6,DtKx  
#Mhn9W  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 wD?+(Mm  
op 3BW  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： uX r4Cy$M  
Y&yh:A  
　　推导： Qsp}B7  
B+u)08Z"x  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 uYmT%9(\  
f 0 l&l}  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) X6u_H2X)  
rA^s3Q%  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 7Q!Ngf#U)~  
HL 6ubO  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ?r-wBS\  
CiU8K](  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） PrG'H,8"  
{`Yo%,>G  
　　[1] exh'Xg  
|@U\jj=  
　　两角和公式 /Yd`'<aWC  
JNAfgw>&  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Fw{hu  
'O*#F'! b  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  tN&pen|s]  
a'!lZ[JZ  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Z!0b'h9"  
&V|J FAP  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ag!mzMP  
2K457 y n  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Vo1 (Mp~f=  
n..xMM$^  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) |k`j a+|!  
V'}\ w(  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Z\BF}WA  
@ ^{oR$ K  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)  %%{=nN  
Iu$Qq  
倍角公式 K=4i+}]d_  
I@Zd32e {'  
　　Sin2A=2SinA•CosA (&1r2tX  
Q<KpmWK  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 sp(H*/QDzc  
Q tRicx  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） VXX!YR<D}  
]8c*-  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） h=#Vc-E^9  
Lhg)g`#A/  
三倍角公式 \cV1"DuA*  
I"R|X98  
　　 7#(1X6Y  
C-nd@^h  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) $/Q  
5ZRF Ni  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ^p6e7$Pl  
m,]NG/r  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 3k NT?5B  
Tbj:~2~  
三倍角公式推导 gyXs P@  
cC\Ff%pX  
　　sin3a +Q1L}*l  
_ 9'\Et  
　　=sin(2a+a) n}kV+mco  
$}xo2A\7  
　　=sin2acosa+cos2asina e)!NaG  
_NHxhb $b  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ?[WN*BdSF  
+4\8.S@QZ  
　　=3sina-4sin³a cq,f#+On  
D}ch:m  
　　cos3a c*-KkATkj0  
'Xr?dx  
　　=cos(2a+a) )'f=EM  
j:V`RmYoc  
　　=cos2acosa-sin2asina "{["%s~,  
nMP5}%  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa {5eS+q  
Dxx; cg&  
　　=4cos³a-3cosa 0 .(~83T!A  
#z=cJ6%.  
　　sin3a=3sina-4sin³a u-R5Lj  
oVSE?}k`W  
　　=4sina(3/4-sin²a) v>__+0yKb  
P| d6\o@b9  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] pd_fT(-GbZ  
fs[8mo  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 8VMa~I}}  
/""k !^  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) H6c8- e=9  
0Q]xVe(#s  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ^]<'$4R  
_5&Q) V  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) gFn].Ux  
0Fr,h<W#A0  
　　cos3a=4cos³a-3cosa UZy_+6^  
#O[ 'D  
　　=4cosa(cos²a-3/4) WZ(s1bYY  
:>7tdNSf  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ac_AQ7ee2  
c$;o e@l  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) /VZTxsT  
/06C6]0  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) SC\]Bo@~L  
e/huncG\  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} :qt .g<#$  
Y:?E]yj-j  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Fy8gd)"  
Jy>E C)Eg  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] {>(RFiSO  
tuBO.w1Bx  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] TD tQMK+*  
a98_mec  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) :BZSX[w3:  
JM+?:Z  
　　上述两式相比可得 c#cQ5@ =  
:cBBR>ka  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) B_1YO4<6h  
MPGt\ A  
半角公式 rh*r  
`X3? L Nv  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Lq:-o&<  
= t{#%:`,  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. /{rj\n5c?  
B;h6xYzx5\  
和差化积 6% hqb  
0Misiy%lc  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] A .Nbp^q  
HL`9.TKH  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] If25 ,G  
@G!,gG7}  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] lC-d}eS0]Y  
Ei d s9@&J  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] m+-+di#@Y  
l~uN5  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 9tZs{_U  
?hn64^V  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) YYh"v  
gXkC,>k {  
积化和差 ?rq,Cldvq  
?6 hHGZ  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] _;RFH3 j5  
2A{6r$2E  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] C%X~^:,  
8\Hl$p  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] v L ?L^A*  
:=zX|\  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] B%\ dH+7  
^Z_OFWo  
诱导公式 Qry ["r  
V10 RKKH  
　　sin(-α) = -sinα VG "GM]Hm  
$\Tl>qn  
　　cos(-α) = cosα 0_=a:UB  
Wd ^<n7~7  
　　sin(π/2-α) = cosα 9!aM6@M  
5Tmp9  
　　cos(π/2-α) = sinα Dml|Rdip  
x3||x  
　　sin(π/2+α) = cosα dIS J=BO&  
WD^a!y!nJ  
　　cos(π/2+α) = -sinα r#!SWK^.o  
(Kyfg3b  
　　sin(π-α) = sinα N<%xE Q  
},r}48aW?  
　　cos(π-α) = -cosα  C"edCAo?  
'7k}?",P:u  
　　sin(π+α) = -sinα y#TFN#J  
{2e AZ  
　　cos(π+α) = -cosα #} ZT&rXf  
oX8zuWT+  
　　tanA= sinA/cosA 8e{7G{,B<#  
rbL%)-)  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα h HtW09Bc  
'%+ M*wLw  
　　tan（π/2－α）＝cotα _}Lu'[  
C OIQ1I9m  
　　tan（π－α）＝－tanα 8$T0f]^8  
mw.[{w#  
　　tan（π＋α）＝tanα `9|0KizWu  
:lPn^:.,$  
万能公式 |aHay\3<  
NY\Xw%Ra  
　　 nxxz i]7-m  
.>Bep:)&  
其它公式 qu;jB  
R&{DcQIRrR  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 I&I\0}vj  
x3O:?5  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 `v$ V P^y  
ZAZ=>!qx  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 SSe %ns+  
PH!nTTX  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 XEgPL Knr  
3zYk O  
　　对于任意非直角三角形,总有 $Kh<V/. ;Z  
8j!sD9  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC M`vk+;w`+  
:jJ>;'V  
　　证: 2|@hnI91#1  
U.UF/3c<W  
　　A+B=π-C y']S^"&+W  
]rE#)EvT  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 7B{Q~{.  
KTa'5  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) "DX '$l@K  
%vYd1R.JuI  
　　整理可得 N z7~JBt  
`s ;$'6  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 8a{eV5w  
cP,md13  
　　得证 0~bKnD5h 4  
X <Ni/q  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 MV &2Ac0i  
m.l#[g% :  
其他非重点三角函数 [Vylm>  
r&fZ}  
　　csc(a) = 1/sin(a) [`yWrr  
tV)Z#qj(  
　　sec(a) = 1/cos(a) Tpi21DP  
sga0J  
　　 6wWY*: P4  
['|h55SlL  
双曲函数 z[w{d~G]  
p\U}o${6v1  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 F?$`2  
-y 7PZz*  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 =rrj(r0?  
Q\f9InxH9{  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) $G ]7Q  
f jUgO>=  
　　公式一： B=g{'M7  
)w59'H  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： } ,W_ r"  
CIy!%L  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 1G2s7$*EOq  
vu8:fS y i  
　　cos（2kπ＋α）= cosα #XBm9^ryY!  
t-hYs6 BZX  
　　tan（kπ＋α）= tanα o:S-pxvMm  
m !<gC3`  
　　cot（kπ＋α）= cotα />v!13G"6  
.-5T0Wzx  
　　公式二： a%XgHb\  
=5XwN  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： z  %fq5*  
K5hpIWwD  
　　sin（π＋α）= -sinα (Ix> !R^z  
RvB Nzx  
　　cos（π＋α）= -cosα -GY8lo>@Z  
kVY Y z  
　　tan（π＋α）= tanα &na%]/ ymP  
@:,f ;J  
　　cot（π＋α）= cotα lDJ"h9*  
Erew1}%  
　　公式三： { @/K#  
F~H/O0  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： R v@Rj[  
l}V]E0uf  
　　sin（-α）= -sinα ^35*hx8U  
x!9YYQW  
　　cos（-α）= cosα q*MK!DF7  
O;^`ez5Je  
　　tan（-α）= -tanα ey3K(.  
7nxoJ(X-&  
　　cot（-α）= -cotα u/v+8p#rx8  
>p~5soDk  
　　公式四： Z$PdL}ob5c  
Pb,;?ZG  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： k@P# MaZ>A  
%bK/d&6$j  
　　sin（π-α）= sinα cRIe,  
.m`<:uQ  
　　cos（π-α）= -cosα .0NO%A V  
}C=] #bgp  
　　tan（π-α）= -tanα AKr\)19  
w* ANM}4 :  
　　cot（π-α）= -cotα biV4Cip`  
E3w t  
　　公式五： d}dj p`J  
# cCmU5d~  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： l}9Y3>  
6kFv <[|x  
　　sin（2π-α）= -sinα cN*lKn1  
kMQ>Ai/  
　　cos（2π-α）= cosα <Ii$b@  
hs>nXK]6]  
　　tan（2π-α）= -tanα 6,kp!uA  
HG}g#9QOI  
　　cot（2π-α）= -cotα ,_{LEK  
{QYE=D  
　　公式六： Guq] XE  
rx<'uF=   
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： "3Za4  
TpqECA~  
　　sin（π/2+α）= cosα h vbg5O  
[-\3N&ta<  
　　cos（π/2+α）= -sinα HUl2\ov  
V7h%Hh  
　　tan（π/2+α）= -cotα {"B(9xeY  
G:f_.Ho[(i  
　　cot（π/2+α）= -tanα 5xJ3.nvP  
bLpo5Db/X>  
　　sin（π/2-α）= cosα |N$yf:=AQ  
0Jb~k3Rop  
　　cos（π/2-α）= sinα <;_sco]  
xr*4_~+K  
　　tan（π/2-α）= cotα \v1]atw  
B<m-DVJ9\  
　　cot（π/2-α）= tanα J4(Z@k|*A  
]u|R{YB?  
　　sin（3π/2+α）= -cosα "yQUGa+6o  
$#^" O  
　　cos（3π/2+α）= sinα ak*#Xr%)  
3LeU*.i^  
　　tan（3π/2+α）= -cotα :2HCJ sA  
&)c$k `?E  
　　cot（3π/2+α）= -tanα >.!y'H;}B  
h@z`S*^4  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 7z%Lv .^o  
6fzhA5Fe m  
　　cos（3π/2-α）= -sinα #L8g * n  
oz?&V&,7d  
　　tan（3π/2-α）= cotα b#Mrmib  
!7YTl  
　　cot（3π/2-α）= tanα 7 )L_K%Mn  
WU4T?H#K  
　　(以上k∈Z) })P#2}&i  
;\>"3uA  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 XPjKW  
Mm8*MK.IJ  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = A\Eb2"l  
XO!2&-fSL  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } T (vy<DL  
#>GM07bB  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15315) |  收藏