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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 @LL.6x  
j%.(H\WU  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. h72pR)`  
1w@Wi*O{  
　　1、三角函数本质： h7F]6]T  
!') 5|+P  
　　三角函数的本质来源于定义 X~tivt"Un  
V5'+@  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 [(Zd3r#  
4ZehQZ~iu  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 {3Ci7#RZ  
/#YF2vu _0  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 9GqwN  
Wo~B 2V  
　　推导： iEVt;{D  
p/fhj`w0*  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 cZh<|dL  
FE\mz Go  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 7D QP`Kq  
iTdgfh6$d  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) &n` Zb:V=  
G'zM:z6 f  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 4FjJ5{c  
 om/.@  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） {{fWZk E  
)wB=7}  
　　[1] k^8"0U`)A  
r4Wcury3C  
　　两角和公式 "OC6 MeGM  
vUVHC  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB @ wZL O^  
ZI(NU  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  V= coWF xM  
<xQn[:#  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB j&E"]'"  
! c3%JX  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB F!i1'A{-w  
'e`1q/=  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) v7! 39k-X5  
6=vp~P+  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) M /Lec  
=s1P*qjbD  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  y<{X+ &  
x` JYR:m  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) -DrI6R  
o: bl)aM0  
倍角公式 3bHdnBL2  
}K@~bl%Q  
　　Sin2A=2SinA•CosA n'=:@%r`  
`upe[f+  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Hos5v`v,,  
9wv ? GCc!  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） U2PmM|  
W~Q-x~s=  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） buyB%}3  
(4#m  
三倍角公式 ul\<Q^_9t  
d6aS 3)m  
　　 if1~]9$L5  
L-+HW  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) h>f8j#2!kl  
,e. {-  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) g!*3lm_3  
:'0YQXI  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) )Lx4./"=L  
4$'8,w\\  
三倍角公式推导 bA/5Tq  
euova  
　　sin3a 3?&x D  
9Kg '<Apo<  
　　=sin(2a+a) W"AJ ;!Ob  
q,2NX5e8 !  
　　=sin2acosa+cos2asina 0%"s f|3Lz  
'#n B  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina h.IS;QbKR  
#,y xOW   
　　=3sina-4sin³a .cEGx r4A  
I)_[%xF  
　　cos3a ?+)K iNs  
|*/NPV>s  
　　=cos(2a+a) H{P&(-  
8R9 >'R%Z  
　　=cos2acosa-sin2asina %'+|DG,=4[  
y&oZW&wL  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa QXZy `yu  
lxxoCmv4F  
　　=4cos³a-3cosa >\i_JB_)x  
Og.5ceSE  
　　sin3a=3sina-4sin³a `"}_wn ^6  
IorsWjtt6  
　　=4sina(3/4-sin²a) ^rtwm  
i\&=`u[  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] +ei&*M+Q(h  
TWo8IEe0}  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) W>[Vm|7*  
(UnMLK7 H  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) %%oihc  
|~uV5/#w#  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] < Z PP] n  
EAMd].}  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 'f: ?IXy  
6MeOj\/+  
　　cos3a=4cos³a-3cosa hvk{\L  
hQ,6~Z,n  
　　=4cosa(cos²a-3/4) R<Y%9G`n  
HQXp|}*  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] dk n3vW7n  
aF&N($T  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) !oB;PIq  
f&OAub   
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) QLTt:9OS p  
y->m[^hR  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} <oNjwB  
YYGo!\1 r  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Lj B=  
8-W?@B";  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] y 3'f^'  
I2 mwn  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] }##;TEO8G  
d 2x1x[X  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Xj{Ra^  
iyUiu_p  
　　上述两式相比可得 /*tYZhD  
*i/7o4YKR  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ]Q5Ie;l  
k`^X'?z5h  
半角公式 o@$Rt  
l5AqH1a!  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 2"%qR6B  
#A/-6p%-j5  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. [Y,5]g2X  
KAzSV^J  
和差化积 Lc[:!K$P  
teZV6$C  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] p~ ,n> L  
9h8X8 AgW  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] s'& b,>  
Evt^ Us  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] dgQ2G?}  
ab, ]$+{%7  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] (%- a:p  
RYDI%Rf83  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) :@r|wm  
9)W'#h P  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) `z[ba^%g  
a~A/d  
积化和差 =D ttg0  
@S$ULA#@  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] JV]'Tw 3  
48,Fk >S  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ^-; 0  
6N ia__5  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] \G |i?0  
8f%`abw@  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ) )q=*|  
u1_kjAU:  
诱导公式 %2s@1B-<@  
)7~[|01:  
　　sin(-α) = -sinα nVQgn/.  
,[{es{15M  
　　cos(-α) = cosα 0]Nq; zWQ  
xF\D#zN.  
　　sin(π/2-α) = cosα ]N67Y#  
a2v,[/:  
　　cos(π/2-α) = sinα #7]`: XL  
dz]hJ\u?  
　　sin(π/2+α) = cosα R:> cRAk  
{dK<?C(y  
　　cos(π/2+α) = -sinα >"Y_JACR>?  
6cprh"!G  
　　sin(π-α) = sinα 2cGBl@<6h  
,d6`!,KpfF  
　　cos(π-α) = -cosα Y#1uz'  
A9vKx<vY  
　　sin(π+α) = -sinα LV ?ua}b7=  
KtDH0n  
　　cos(π+α) = -cosα }Lt>SK  
8U18R5/Yo  
　　tanA= sinA/cosA <1<UVuF  
":}2q/PUS  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Rg9[)!_~8v  
i<7i;eA  
　　tan（π/2－α）＝cotα 1W{ `(.  
?>riF&iB4  
　　tan（π－α）＝－tanα EDBi"UL  
Yy0ML~  
　　tan（π＋α）＝tanα A;c`.nw  
bm) ^xn8  
万能公式 #Y[w0X9N~  
s|xWp2.$  
　　 EHG,HD^30  
UFE"w4g  
其它公式 Ec7&0UgV``  
Ci*Ze*3s7  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Y{4]$z__)  
/S[[y/UU  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 6uzHZsW4h  
8XCE.XD%  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 :N<ZFE5?  
0`o?3j/@  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 B/DUqk8/r  
Ad s H)  
　　对于任意非直角三角形,总有 _MF$~<IJ  
@sOJTlgj  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 3--6F/RM"-  
Z t~#5<`  
　　证: cmMsP1J"j8  
RGJ|<6#  
　　A+B=π-C K+wy\0A  
n j[d8#  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 4igw8Ke  
2gPkqo1f  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) x&2Uks^M.  
}]j$xOuCj  
　　整理可得 l[6gONX  
I?(zC  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,%QNi.N  
w~ y~E  
　　得证 b\(V)XoP  
z_7;b{v K  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Y0;&B, xf  
@:n6%T1Gb  
其他非重点三角函数 On3W-?w7Ai  
\y^|y  
　　csc(a) = 1/sin(a) NZPgl\%Ri  
u3]eAfU{  
　　sec(a) = 1/cos(a) }*GK=}5  
pI4i@  
　　 btlKz#B ?  
}XRto d  
双曲函数 Y"KL1S}`  
=khe['LPk=  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 A|$?O?li@M  
L ]v  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 63-7]KO:  
PaUGkwt  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) CgZMuh'P)  
3aqu+H^Dj  
　　公式一： ,%2sTz0  
:zdQzhVc  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 22Fx16m#W  
f@LAR*eL  
　　sin（2kπ＋α）= sinα H9;*=CIP&8  
.d/k nRge  
　　cos（2kπ＋α）= cosα p`,R x|Q=H  
bT#ZD5  
　　tan（kπ＋α）= tanα DKhJPZSF  
a 0:9m >d  
　　cot（kπ＋α）= cotα J=$xnDv  
@I3K"&4df  
　　公式二： 6l=Y,'  
('v1phXxW  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Ew4W\N  
#2FwHA^n  
　　sin（π＋α）= -sinα +)C5{  
,XMeS[3uZs  
　　cos（π＋α）= -cosα M}t"YK=N!  
e$Yj6~g  
　　tan（π＋α）= tanα z$7dFX^  
^#Bu3A  
　　cot（π＋α）= cotα H:Wb2I   
^?B.Zfs{d  
　　公式三： E T/0\Z  
G`fWR"[Xa'  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： :!FUJ \v  
q5wo&a  
　　sin（-α）= -sinα |FM ={T`  
2Tb6eP^[X  
　　cos（-α）= cosα #P n;R  
bczQnb;4O  
　　tan（-α）= -tanα 96}0`E\at  
cinH,JZ  
　　cot（-α）= -cotα (Bb [32  
o!NOj }  
　　公式四： WJM ^Bz,  
"}LA+L/  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： K%J7Aa574  
5CGW6s}"  
　　sin（π-α）= sinα Gs(EyTt;W  
}N Z[]o  
　　cos（π-α）= -cosα ZD(pkasP  
:1mJp  
　　tan（π-α）= -tanα M"?2qij\ik  
>ppFkm:  
　　cot（π-α）= -cotα ;pz'#Kz>`  
'] ;}  
　　公式五： :8Wo?9!W0  
\U`h~aW  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： bHmS c)w  
ji[<b'A  
　　sin（2π-α）= -sinα sc9A\d ejd  
xH#rME\rJ  
　　cos（2π-α）= cosα ^w8Q.-L  
6f\a0rq+T  
　　tan（2π-α）= -tanα  )Gs "SI  
<f-U=_Ca  
　　cot（2π-α）= -cotα q]"787us  
\pKN5?9;  
　　公式六： cIPR  
Z_8D4X|3  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： jfe_lm3-i  
)!V<-0,z  
　　sin（π/2+α）= cosα hjC!S*WW  
}X?EjAJq  
　　cos（π/2+α）= -sinα EFb8}I]7FU  
bG8T ^5  
　　tan（π/2+α）= -cotα " 1e'D  
=]6`:=`%  
　　cot（π/2+α）= -tanα |r&sY ]y!  
kOk5zBcF'  
　　sin（π/2-α）= cosα *l<gB_  
 ' /,H  
　　cos（π/2-α）= sinα 3F^'Aet  
/1Cjb2x]-  
　　tan（π/2-α）= cotα YO6G$!:  
6JKOJQ@ m  
　　cot（π/2-α）= tanα 7T`D8%!w  
- (FAJ1*  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Z-`# < a6  
 bbF*H  
　　cos（3π/2+α）= sinα $r")   
me@ju@~G  
　　tan（3π/2+α）= -cotα j=Jn x+~p  
(5^+1\  
　　cot（3π/2+α）= -tanα oi,5a}g  
DH+y&lk "  
　　sin（3π/2-α）= -cosα |ghy^  
9&uG13(  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ZhofkNg_p  
S"'m<1eIN  
　　tan（3π/2-α）= cotα ^k(^b/^>4  
dC}VH}  
　　cot（3π/2-α）= tanα %*- #nW  
Gb|t M"O  
　　(以上k∈Z) ^ ^A-L m^  
1E;I. +d  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 |?@}`?T7  
(:Gf Z6)  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = R~gkk@:  
,]!2,SdR  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Kk|u:r_c  
XcVXbir5  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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