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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 H=r&D<I ^  
:ba(~(` "  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 7O:/eCWm  
b]m%\4`p  
　　1、三角函数本质： av $_&<   
]l8q/$L(f  
　　三角函数的本质来源于定义 8&[.% s&  
Z<"Z3#mE  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 n{,9I.bu  
\**DVz :p  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Fm%4pFh  
ur@*-fh  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： $L*8~.Ge  
R>YC?_%z[G  
　　推导： aJ9@%-j`  
R[` 9c8  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 #$K:9Oy  
D=3Q7J d)  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) $cX ]<Yw  
ko^Z#  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Ye&FoV|Z  
O, Kz05+  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Ndlf Z  
$ya.fD  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） " -FR2(|  
 m&=zl,eb  
　　[1]  [,/   
@Z=5;:<  
　　两角和公式 @ZyZWOj  
J< jH%  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 3IS L?  
p;AWm2U  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  < Hd7J}  
+{y~Bv>Zs  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB #?'Em+$  
 >v|xk  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB db',? "l_  
!.&|}2[  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ~ x/B~M  
Ot~@ -.D@  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) SEh@P nD  
Ohh7sej  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  k`=YIKr  
6o::| 3O  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) eLAZ0hv"\C  
vv~E)fKV  
倍角公式 xi a@r6  
>pwD  
　　Sin2A=2SinA•CosA I5fIO^3X  
~R{[jUs  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 RsZ61an  
+' %3%s  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 'VJm>Z<nN  
mp7 3_0  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） HHnE R/\  
X J3 88x  
三倍角公式 z&a Vt>c  
oFaUjp|6C  
　　 X<LwcX5  
G_-QZsFL  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 3AdA 1('"z  
*A\E#hm  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) )hFJNP5%a  
sahwnqZ  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) g&bEJv$  
K9 6BSyq  
三倍角公式推导 JL>pZp~B  
}46?m])j~#  
　　sin3a .vn;I  
d4H!o+4.Z  
　　=sin(2a+a) A By Q?*Ok  
W#g=g  
　　=sin2acosa+cos2asina `'8Kb%8B  
}3^d5 @R  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Lk@SX  
gPr(?_qr  
　　=3sina-4sin³a 9U&N8x  
d v3sqrE`  
　　cos3a meC_UMYDW  
_]+Q$,9$  
　　=cos(2a+a) :\ ]*dv  
E[h QOg  
　　=cos2acosa-sin2asina \>,.9L r  
: ?;o  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Ya6f-'Qp*  
1Z8qPo[  
　　=4cos³a-3cosa Dy[g<\ya  
'V;: h!i  
　　sin3a=3sina-4sin³a Rag' d) 5  
AK9AbI-  
　　=4sina(3/4-sin²a) uW$@|LF4  
n<#}bH y  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] #rCUbp  
t)Q <:u6  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ;!+xjSW  
(;k-b)e_\  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) je|4#\s5  
3Z&({K%]x  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 2$hQPz  
19|} $Tdl%  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) a o,'!  
1)cfAw_3  
　　cos3a=4cos³a-3cosa fN-zM{c~h  
&D#,%cs/ '  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Hu(g bx!|  
*EzJVxx  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] [:\_.DJ W  
1 RoDYG^)  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) N!r"Fe  
~1 `UYc-)  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) }*Chjj@`G  
o0\AJ1dp  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} %93G9#C1F  
\SSZ]~3~  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) l}iaGJ|\  
n%|r7xAs  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Pay|xDe  
(sV0GA9(  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 7d4*P&QEme  
T@2.r ZS`  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) nZu-, &8  
1^t-]  
　　上述两式相比可得 +^dnU%"  
F<XgefT.  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) U=BJr`(M  
}w>oCD\  
半角公式 !H#2{D>I  
{8ucC|  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ,YwL9_Q  
@fB`mV8"|  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. srhD#F<[  
/OA%(  
和差化积 FcD, 8u5z;  
Qg!oY!4Y  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] b:r8EZhz  
b`. $wM}t  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] LC8{\_K  
@y'_=a2  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Kv/,<p2  
iwF\Bs jb  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] p/N}!&=  
n TtvO*  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) +Kz+ !p  
|afqPN&l+  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) K_ |8  
Z:Gy'a[  
积化和差 jQ&X/o1;  
@qJAFeNM  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 1 3-L"$  
$vK \v R  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] a)h7bl"(Q  
~y0zC!P*  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ,@QYb6  
kLD.5h N  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] RK44!-:M R  
HV5'_S\F  
诱导公式 N[>59=+A  
U;6ZuQ&L  
　　sin(-α) = -sinα .=H# =E  
">"}_5s 8  
　　cos(-α) = cosα jc@w X`@  
 \Zf8;i  
　　sin(π/2-α) = cosα Y V6 LgrJ  
[x|DeCsw  
　　cos(π/2-α) = sinα szJ$/s  
<wZ"MjE  
　　sin(π/2+α) = cosα ) O`}k,UI9  
ov,=ur  
　　cos(π/2+α) = -sinα 8@5*D  
tpT;"jGAN5  
　　sin(π-α) = sinα E=qjAI  
<(j2. p9n  
　　cos(π-α) = -cosα |ju$AM\  
d60L)  
　　sin(π+α) = -sinα 7@rhr`'  
_0#hRI'Q  
　　cos(π+α) = -cosα M^Vc[SLu  
tfDn $2  
　　tanA= sinA/cosA g2IX7zr5H  
*\PBcYGG^  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα AVJ-<^L*e  
>j|}8zx/Xe  
　　tan（π/2－α）＝cotα =q2}HZM  
_gou:j  
　　tan（π－α）＝－tanα T,qx!(s9&K  
|Hfyl']'{  
　　tan（π＋α）＝tanα Dsh u2*X  
B"J^#+EYm  
万能公式 U(3#Sg@  
VOz8~  
　　 $9X0H`'  
veq1NqxvN  
其它公式 Ib@e5G,d  
+xOc@n,  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 )XY5Vw9/|7  
}/ '@hc  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 rV@o?Hu 9F  
7!^ ]z ?  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 YZh_Pt,V  
" 63?-b  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 z/}NrceQ  
1! V6cXIA  
　　对于任意非直角三角形,总有 n. `m\fH  
e:sesVD(>  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC uRx\2-  
$%}h-x~ @n  
　　证: t8 b&   
$Kf9`tRU  
　　A+B=π-C +u%NxiS~B  
1 O_ BQO  
　　tan(A+B)=tan(π-C) @K?sT;{  
OVmT"!<l  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 4s/`t8q  
BFtM.^~-;  
　　整理可得 gn)Qcd=  
;[f )!~H,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC "I+BlG  
z8oNl5ra S  
　　得证 {W|qw9uX  
r%#GoWi\  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 W]T'>"_  
d[0e?8T  
其他非重点三角函数 'A!=%I?  
'qofl5  
　　csc(a) = 1/sin(a) iUuz |MH^  
SDg&#=Xn^  
　　sec(a) = 1/cos(a) \{7NY.  
[;55V D  
　　 ,3rWaY O  
&mI}Y/H  
双曲函数 (*KD6XtV  
T#1weBr  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 `}my[$6y  
"h-F/>  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 d)gH'gl  
tMdNO  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 1<1 W }pw  
OVPk3%R(.  
　　公式一： E;<%~ |=W  
!OG7Pq&+  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Zh;Gu;CbH  
6gnJ P  
　　sin（2kπ＋α）= sinα lDSQS%07M  
}k':NLEow3  
　　cos（2kπ＋α）= cosα +sK5i[=Q  
kCh0%LQr  
　　tan（kπ＋α）= tanα Bxr o'B  
<o|1A{b\s  
　　cot（kπ＋α）= cotα ?r:}~ Ut8  
MA f @U  
　　公式二： r1/%L%:  
}t0>|  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： #P~ptG`p"D  
FB.^G*~v  
　　sin（π＋α）= -sinα +)I^8k'I!  
mnf77rLB  
　　cos（π＋α）= -cosα }..vE7Bw  
&Qq^,ao?:  
　　tan（π＋α）= tanα /sC"g  
TT, %R/J_  
　　cot（π＋α）= cotα , Yk#wv  
n*w]v4OH  
　　公式三： LnsiK]de  
v//x\fLj+  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： HzT]>cYG18  
AbtlbvZ  
　　sin（-α）= -sinα wqI`$C]vW  
@2r4 |  
　　cos（-α）= cosα f-nY e`&  
ht`:  
　　tan（-α）= -tanα $Yww 4!"Z  
o]k0RQlfD8  
　　cot（-α）= -cotα ? {V)Y2JM  
# e{izz  
　　公式四： 8% bFB|!M  
-ktSe4h  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： " [O7$>~w  
Q2 m-H3'  
　　sin（π-α）= sinα xGxKF6!  
hJkp-EQ  
　　cos（π-α）= -cosα D/"!O  
Y41;Ah?n  
　　tan（π-α）= -tanα As?):-  
KvclZ=?`K  
　　cot（π-α）= -cotα .cpX&z^#  
{fOTHJ  
　　公式五： k{L*oN_  
@u`YNC'8H  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Rq9K!%g  
 R^,(fO  
　　sin（2π-α）= -sinα D0 MBPc  
lHI|K   
　　cos（2π-α）= cosα (X Ji xZ  
E<5TnQ`  
　　tan（2π-α）= -tanα dd'Fe1  
G`XTPX  
　　cot（2π-α）= -cotα UzOvl  
T@h*A9  
　　公式六： V+GB]I`  
]M  !w4w  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ^ ~x(i&9  
@ (j3Z{>?  
　　sin（π/2+α）= cosα X2.]|VSu  
#~F2WG]t0  
　　cos（π/2+α）= -sinα n&KQN#q  
9zQ:&z4  
　　tan（π/2+α）= -cotα -vqThp2?  
} XYX8Js  
　　cot（π/2+α）= -tanα D=+c)h0  
M]DW&z)-CJ  
　　sin（π/2-α）= cosα ; {dhS9  
|5KzN gH  
　　cos（π/2-α）= sinα FV04AD5H=  
6/y L^>.  
　　tan（π/2-α）= cotα S@PVXMy  
zVuu^-^N  
　　cot（π/2-α）= tanα ?xPVgI  
Lxc}~ _<D  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 2;CHx'  
g9\H1T4  
　　cos（3π/2+α）= sinα ~DJ,<;<  
kd>hCQ8T  
　　tan（3π/2+α）= -cotα e F]w~c<  
ozDmLK^MH  
　　cot（3π/2+α）= -tanα bY|$U.1f  
^*7rn!%j  
　　sin（3π/2-α）= -cosα $FM'k.Dw  
&+/{IM:  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 0 7+EyWpn  
#-Z7fA2  
　　tan（3π/2-α）= cotα Gz]`2:k0-  
cj-T?wb;  
　　cot（3π/2-α）= tanα @oU"p @  
',JwnThg9  
　　(以上k∈Z) _bz ( S  
2b9V<!Y  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 &XA5 QFh%  
Gd,ok7Z%`  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ?19-Y   
}6 RFw+=$  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } m0U@}J7=  
dbU0,gMN  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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