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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 b+B a=0n$&  
{m"R\ '  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1gIFE[  
%y6(p(i  
　　1、三角函数本质： h47?C/x$,  
p"7yNk&  
　　三角函数的本质来源于定义 45U:u"Q  
<RH.)  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 #)gx(I  
n6D&u$t;  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 0[*U+  
bS`mp)?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： y? YJ.2pt  
FAM&D-=  
　　推导： U%!Z[]a^,  
WsO{a$:=s  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 X`+fgt'B0  
g >jr|k^yd  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ,Jm\/'s6"  
D}?yS  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) P4{>&zWvHz  
IX_RF{nV  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Wz~;\C1>0  
g?l5 -i0c  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） s/KDDtC(~D  
uv8 "aX  
　　[1] {aBL7ue#i  
e-C-`fQ`  
　　两角和公式 ]/f?7Vf o  
M*\=]|\vH  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB j\jJ- t  
ag*oA:c>  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  OdE/zV#5  
U8sx./@r5  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB $4%Nz?iP  
GzWJ$}fVg  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Qyw]EQ4  
@{.;-"Qr  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) pR j! &bR  
YH}w5  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) s1{h82:  
KOBkY&N  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  1V:;aj,<J  
y *$g~  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) &2dX[d It  
{e6 532cF  
倍角公式 4]ztd{  
5fw38!trw  
　　Sin2A=2SinA•CosA ;Y X6ZkZ%w  
yb,[&^<o  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 2vE\ >Y  
7E|nE1|{7  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） pO@/\JI!  
7wf:))Ym  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） *osb.}  
-S=}A:  
三倍角公式 !]?o"EiU  
d?LT-=#  
　　 E(zR8Vz!E  
b@<@I1r,  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) so.X<sfoNJ  
z05 2E:Q  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) [/n$5uq  
;%0\C4d%  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) &;_/b&&  
e$qCV{QT  
三倍角公式推导 Ue1f? k  
UC.UAza]  
　　sin3a mb' GYRx  
A Ndog D  
　　=sin(2a+a) L2c)BRz&)  
a,1#66?  
　　=sin2acosa+cos2asina kY4BT1J  
$N4c&{Z]m  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina L-2qE(  
15 $iK}  
　　=3sina-4sin³a hE,5}m|q  
w@M%X;@  
　　cos3a iXiFaR**/  
+u Kd@N  
　　=cos(2a+a) :<iq\{ `  
7i62.9  
　　=cos2acosa-sin2asina zkI \7V  
2!UsmW  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa yTv+T)e  
b:1' f+T  
　　=4cos³a-3cosa a1sejP*TSx  
KL3lpPEH  
　　sin3a=3sina-4sin³a $SW\5rFR]  
gquFdD}/H  
　　=4sina(3/4-sin²a) +yI9UAZnQ  
T+eoUVT  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] RK3>Ek  
;Y:]  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) %n><&I  
y]e2bX|  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 0G^L^ -X  
XTLs6tu  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] A mq :6  
`DTS1'8wh  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) @ qgIV<TmP  
J/wH3A<s6  
　　cos3a=4cos³a-3cosa SiI~ZZ?,  
%v:4B,[P  
　　=4cosa(cos²a-3/4) xJ*B==  
M*l|1g  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Oz*^D  
[6!32p:v v  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) [uQ'@y%[  
Bbt?yo6  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) )CPV05-*R  
^2cbw(mt  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =&K3bF o  
%Wj$"5/aH  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) {!z_}\v  
3B%8%DLD9  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] >j2wH/  
b* &k O[k  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Vjq@&!}#  
4F) q>n~E%  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) B/1Q3DG  
zCH`n;  
　　上述两式相比可得 6Fd$ *`|  
p@,s4X~  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) zrxD3!!F(  
;]~*\S  
半角公式 ?&xF2o  
Ds.'>W&  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); $%JI  
tJ(4oZ&R  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. l2ItLpjJ  
_V-0G  
和差化积 ctl>HA  
1Gs?1M2+  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] s |_W:S  
1z+>2 e/   
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] xet[`xoR  
)asu&'u6  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] LX`UV.Se  
b<@38N(  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `|OuH8D;  
;QiiK$%al  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) "uKBI3ui  
vg_N\  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) #CA {  
e^xUZ-i%  
积化和差 -[~Me<  
ivz9t?4Ig$  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] YdR H9m/  
R96AkM!  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] DsDUj d  
VY8<Ai H  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] !mAD  
A6_zFuOg  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] C:{Wus<  
HsSk$Ra/  
诱导公式 1QD1dOk  
[c~h+U^:  
　　sin(-α) = -sinα $nLT*I ~  
t}@V7V:qK  
　　cos(-α) = cosα h|8)~h)N6V  
vKX >+I%  
　　sin(π/2-α) = cosα N3-W]a)b  
F }_yP p(r  
　　cos(π/2-α) = sinα uR^uDt W  
5_Xdc;aH  
　　sin(π/2+α) = cosα c P>L!zW  
$Mfem[1Nf  
　　cos(π/2+α) = -sinα V#r)RS[j  
#GL$RB @  
　　sin(π-α) = sinα 'F5lpZL?hU  
4Dc}8EbWP  
　　cos(π-α) = -cosα S  aOSVT  
=G&.1Qm  
　　sin(π+α) = -sinα uMze[+s|Zi  
&r] ;-\ iO  
　　cos(π+α) = -cosα Q, [w2  
xs'|'63  
　　tanA= sinA/cosA AQ8jR'H  
o:"4 Y  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 'E1Y1wl}p  
|o& thC8h  
　　tan（π/2－α）＝cotα HBnWeT  
kkAQOWfy  
　　tan（π－α）＝－tanα erh7W=Q$  
nH 1icp  
　　tan（π＋α）＝tanα pG|LHW[<C  
8DQOq@c<8  
万能公式 i+cd H  
bIB=fHH/J]  
　　 [P&p"*  
ih[@X/]  
其它公式 #u[A(+~5uR  
4x@Ityv"=  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 hyu-tKj  
gJAzux  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 w+ l>`"3  
-EgHqsC;d  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 5q4p"  
yqY8[i 7F  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 _Sr"3'aI^  
.x R2PZ]  
　　对于任意非直角三角形,总有 $dgO3Xa7  
=M|)Tsk}  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC KwJysJ  
@eZK-:e<  
　　证: $,z@.eB>L  
MmT# iqo'  
　　A+B=π-C % BV1dV  
pBr6%t  
　　tan(A+B)=tan(π-C) PTe/F":!  
o~ ecHN  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)  b|nt&+q  
!~z F  
　　整理可得 CR6WY  
HKOnM6Kr  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC t.<Ux9"3  
O.92v:J<A  
　　得证 Ueh9K^  
#2BE1X=  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ,@}GbQ<f  
sZZqbOIE  
其他非重点三角函数 JE@9%!5pQ  
jDIJ[.'&X  
　　csc(a) = 1/sin(a) Fqf\& pdF  
^U%2;((  
　　sec(a) = 1/cos(a) H2J:Pv*z  
3a4mV*};  
　　 ySN6 i+p  
3c<4<wb>a  
双曲函数 7hS0Y9  
7>9dN  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 L6yBi eIb  
fW%ZgmEm  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 gUZ#% x  
3;NA;uZ  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) O?;+Xje*  
,)$5*e  
　　公式一： =yjzJ%z  
'ogRCx&:  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 'dYe:7  
kq3>~O,w  
　　sin（2kπ＋α）= sinα N6X)Mc  
r_^mBX  
　　cos（2kπ＋α）= cosα >Se" k  
k4M<X  
　　tan（kπ＋α）= tanα FCOc3n<)|;  
[`i#=);  
　　cot（kπ＋α）= cotα |?F[OrBew!  
W ._<dy  
　　公式二： J1lsO7  
3S$tVt:  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Ig2wP  
E JEgP  
　　sin（π＋α）= -sinα B7~}=G&  
)YRu;M"  
　　cos（π＋α）= -cosα f=#j]m^0  
izbWuG  
　　tan（π＋α）= tanα +$0gc,. i  
]U9} "YykZ  
　　cot（π＋α）= cotα !x=hI^}  
`AEfk`t  
　　公式三： }hs{>:4M]  
\uMt3g"<  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ;\=g>ss}  
TC\j\W0  
　　sin（-α）= -sinα UdhOh  
lLK }}0  
　　cos（-α）= cosα gOV;SBFJ  
k!KbFCz  
　　tan（-α）= -tanα TXNL$n  
:iB6'\p-  
　　cot（-α）= -cotα LH z uY  
|Qj0')C  
　　公式四： ([0iq5i%  
Z2}b'>  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： vY{Fi\  
$G.#?N<  
　　sin（π-α）= sinα mt52L VN  
U,HqgRc{b  
　　cos（π-α）= -cosα ~$<Q_ T@D?  
^c^t2{+  
　　tan（π-α）= -tanα H2dWek4w  
2<Uq`8  
　　cot（π-α）= -cotα 2Fa}*Oa  
BOr`}OQtp  
　　公式五： \>=\U7  
BP*> gNV;  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： pq_@?Oh0  
\\M?9 &  
　　sin（2π-α）= -sinα 48147E Q  
4oYk`&R  
　　cos（2π-α）= cosα YovPvawm  
0X2h0] 'h  
　　tan（2π-α）= -tanα W %:IvT  
C@BzXL/  
　　cot（2π-α）= -cotα n)1~:ct  
0tGoPvem  
　　公式六： EnEIzp?  
~}_}"r%y,  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： fxIv3  
4 I"& xR  
　　sin（π/2+α）= cosα 3Udr5  
C Q  
　　cos（π/2+α）= -sinα "yZ<K'gq)  
F`kI06Af  
　　tan（π/2+α）= -cotα |H6'!2>  
u ., J S  
　　cot（π/2+α）= -tanα IcZ8t`fq  
f8^_a7  
　　sin（π/2-α）= cosα n'hPY1  
}on$07  
　　cos（π/2-α）= sinα ^-m8#w  
*j2J;%  
　　tan（π/2-α）= cotα H_Thq}e"  
+^Z-U}"u  
　　cot（π/2-α）= tanα j{rbEB_qs  
+ pu&G\UI  
　　sin（3π/2+α）= -cosα bX)oP+T#,  
q1/DG",,C  
　　cos（3π/2+α）= sinα lT0e|u  
+ Q N{@S  
　　tan（3π/2+α）= -cotα sgBz)Ha E  
[q0ZH/|  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Q{3 E\UwYd  
{|KG+.};-  
　　sin（3π/2-α）= -cosα :vhXFg:;  
A-xKZVuE  
　　cos（3π/2-α）= -sinα LG^2Gx  
l*:j7Cu-  
　　tan（3π/2-α）= cotα as "JQ$6  
YO=.WkJ  
　　cot（3π/2-α）= tanα {0Q?gaiK  
-h*z$ 8}S  
　　(以上k∈Z) 32RBD!  
jOn\P];'  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 XUOh6c  
){j:wPm  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = >PBe QuB  
ho41H,&  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ^|+`Q:F   
98L}y:Y E  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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