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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 t?VuE^|  
T[CJgab  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1[v2|brb  
P'nJ+BU  
　　1、三角函数本质： N_p j_'V  
mYhj;Y1;o  
　　三角函数的本质来源于定义 g>a%GG6V4  
gc|X="X!E  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 S?) [?  
0;1&P H  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 b=o\(Qg7d  
U(-T`b#KZ  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ZksZjD(  
O@V@\_(c  
　　推导： u~Wrj>W2z  
t0Q<"5&  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 oo./ r52N  
=h0 /kO  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) a:G1gGpGg  
BUL-(W  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) gmN'4X~  
~ S6AD~"  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 -(Ktk@fV6  
D4Pi>KJ  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） )v^\A~W  
fkF6-[B  
　　[1] )fp9#w2 _  
9ysV/)0--  
　　两角和公式 f3hl4 7  
i\q0-U;s  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB gba>BW&17  
 ~P;}!  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  P/]'_l*<l  
'P_Z'1  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB D@sQy\o'Oc  
3[Vs5\  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 8t0? aPKE!  
9qLL$6V^/C  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 0\*EM7ct[e  
A$f]>B.c  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Ei"Ffmf  
BX/=)JZX6  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  `AaR)<+  
"ogP}R|"  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) &mrHctc  
Ey_=y1WQ7  
倍角公式 ='>Wg*$we]  
J$F;C8i  
　　Sin2A=2SinA•CosA !T$(guF]u+  
Lve9&7YFX  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 DCW Y-tF  
&_|?>^[M  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） &Tg(Gl}H3  
V+X}a'$~=  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） lA-lo\  
RcW^^;\'^  
三倍角公式 ocN+vlv6  
uLNt>d ph  
　　  eQ-'9oE  
5$4S*xG-u  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) VaP]qK[  
oRJ{KPgS  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) =RCv~]z  
>jT2\S  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) q\=R<$myM  
7 s"`U B  
三倍角公式推导 E:"XsLfN%  
19;mR3dC  
　　sin3a h?+bg* w  
uEC_RPR  
　　=sin(2a+a) [rm@M`P|  
%Y^0Rg]H  
　　=sin2acosa+cos2asina "@oH>W+0)  
!l?`Ig  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 8YAyLw9&#  
l2 =}g.3  
　　=3sina-4sin³a {zddl   
?HNRXS  
　　cos3a Vb26OF  
=BRa?Ej1  
　　=cos(2a+a) %KrQ^1  
lGi9r#\w]  
　　=cos2acosa-sin2asina  AtM,gv(  
xg0@o"6i"  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa p24 -sc  
Tp>wDM(l b  
　　=4cos³a-3cosa 8/)I.~8y  
ri03}~;I:  
　　sin3a=3sina-4sin³a _vj^ck]:  
caI|A;9   
　　=4sina(3/4-sin²a) P9q)Z%#a;  
xE*E?{  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] j\g0GX b4  
{sBAOcU}o  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) (_n<~  
J;bEz:tT  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) biN+aZkG-(  
7k * 'g  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Q!:HMoJfg  
YAL&ZuZ,g  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) lBPE{ N  
lXlxrVf/Z  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ~\@ wmO:v=  
H 'ZuX`R  
　　=4cosa(cos²a-3/4)  ,/) X1  
pKm,' MA  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] \~cuM}#n  
u @o/:X}  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) `:5$Rt\  
kf0h7b]2w  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ~[i1di#  
=FYh4_7  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} V ;@;$fZ{  
}A7 TN$dH  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) %(m*fB  
1[d^yx2t  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]  zOft?  
{ q/C)E  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] qL<9x$S\  
$1 T3},yx  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 0 &uz|  
5i*3nqlX|  
　　上述两式相比可得 VIb$BfyWC  
l10 /EU  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) XaC$Y(}m  
YCrsh*b$  
半角公式 @0]#*l  
6Bn,XN&Af  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ei:UItwf  
~#6Wm  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 6f]>W"0mA  
Lcvq6SO  
和差化积 nX* s{; D  
zZD?(  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] s9|O{eh  
-6+I]!  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Vu ?jQu=  
Nqx?dj/}p  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 7Y@-[{#kz  
Dj| WV8Xl  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] jOXS/ vt  
O{yD!T;  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) <%' ccu  
Au0 `  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) + 4jb(mf\  
66Ufy >L  
积化和差 0 $uN@%Y  
q=Mz4^#  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ^O$IL(0  
"8IkQfL  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] fd jV0v  
'+xrZPa.0U  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] IEM0[q4f4A  
&Ku~Q:  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ze"$7F  
F2'X!i9q)  
诱导公式 cH7"Bs9J  
!W+HvI]4i  
　　sin(-α) = -sinα QUj6mNH  
4#Uxo$c~/  
　　cos(-α) = cosα p}SI3R~bl  
eXoG]#  
　　sin(π/2-α) = cosα I_,^Hz|_  
^S.>ku'Ao  
　　cos(π/2-α) = sinα {|V;|[v#z  
#B SO< ^  
　　sin(π/2+α) = cosα k9bIcEu"Z  
2<OVn}  
　　cos(π/2+α) = -sinα (c d"F2  
JpT(FKgc\  
　　sin(π-α) = sinα l 6 f^\-N  
 MZ[dqx6P  
　　cos(π-α) = -cosα o"p'2  
G >x i!}  
　　sin(π+α) = -sinα }KimYR.u  
aOi5SA} q\  
　　cos(π+α) = -cosα q~^jC&;Sm  
/[3oi>@-  
　　tanA= sinA/cosA MD4i-8>H  
= xVCq  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα vW{Pj\p  
Lp}9eu/a  
　　tan（π/2－α）＝cotα [oH^V  
ED~5 P_  
　　tan（π－α）＝－tanα Slh e1R  
WO 0i27 D  
　　tan（π＋α）＝tanα sGhWDO_Y  
a}>ph~  
万能公式 [QF-mj*G  
21_GfM+q:  
　　 3W TJ4WY  
88 \cq em  
其它公式 V<LSH2Wy!  
jgmO<aX  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 /q1O0O[i  
A];MZTYdg  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 I4q4!7_W  
(y&hrQ\s  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 \ ?T  
`J2^'@  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 gls;+  
+5Z5DY^  
　　对于任意非直角三角形,总有 wEO\ n"T  
uaF5d7'ey  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _t:p( )3U  
Vu",gL  
　　证: +q]o{H*  
Q;4/x>Q  
　　A+B=π-C ^_wkdld?  
z.VcVl|^  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 5Q$N& ct1  
d*Zl6ZqC  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) U"0ELUqcA  
]K,H}HF.  
　　整理可得 4`OodxJ]6  
rh a@=  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 9RF/*7u  
^#|7 ~f  
　　得证 }5&[3nmp  
x?B<\u  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 -'9WA3  
D</?bW  
其他非重点三角函数 %+S{)S<  
.FbshCA 0  
　　csc(a) = 1/sin(a) seGD7ck  
b>hY3|R  
　　sec(a) = 1/cos(a) %QK)5QM0  
*qo9U E  
　　 QUu4J2(1  
`IV4yNb2  
双曲函数 $}Q Gw&"  
T,i!w j  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 qsK#( 9OL  
&8Y=]>\ Q  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 TiV%a"t  
8YvEA5[[  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) G)ieW+(E#  
6$p1zQR  
　　公式一： cnS12+ Ij  
C9Y-C\  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ?:1S( D  
^k#{;zd  
　　sin（2kπ＋α）= sinα F"-^b v  
^QmB FkW  
　　cos（2kπ＋α）= cosα N}x*3Z  
X!Gi}G.JUD  
　　tan（kπ＋α）= tanα TK"dUNhQv  
@_mm  
　　cot（kπ＋α）= cotα Bh\eH7kW  
1n `!s?.o  
　　公式二： LB.e[n  
C4S0+2|  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： lFF\BZyU  
g 1M?=  
　　sin（π＋α）= -sinα m.:+pN8"WT  
/ )~G   
　　cos（π＋α）= -cosα qf+ [x  
CVj}L~G1  
　　tan（π＋α）= tanα utN,U,U"  
v(a`JJ U  
　　cot（π＋α）= cotα `FN:9lW  
R/ < "`&  
　　公式三： I B`&/  
YHP79:  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： O QaJ$) s(  
Uf-NYU M)  
　　sin（-α）= -sinα {ZM2*b)  
L]7 Vb  
　　cos（-α）= cosα X7txnL*d  
p&SsfV ;  
　　tan（-α）= -tanα ;Hx {8  
F[";sSsg  
　　cot（-α）= -cotα QAab5ri  
]f\*51kPB  
　　公式四： x+%b$2$T>  
Y Y1(-/  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： m630 M<n  
FCNP%^D  
　　sin（π-α）= sinα R#h_=_>ID  
, /fg&no  
　　cos（π-α）= -cosα YHQ R?v&  
`i`\*o%3  
　　tan（π-α）= -tanα ?/zbZ; x  
]Y~n1^-p  
　　cot（π-α）= -cotα ^fD$w5/  
X+D=)  
　　公式五： `)bke,Fu75  
&mC2KK  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： I+<K`e1[   
F,\?8 zk  
　　sin（2π-α）= -sinα `M^,>kq5`  
Az]0`}  
　　cos（2π-α）= cosα =!D+al1,1  
M)x,?xD.x  
　　tan（2π-α）= -tanα 7ynqE)|f  
8@'b0DH0 {  
　　cot（2π-α）= -cotα {OU95jeH7n  
6w@dHb  
　　公式六： 3J;4=?-  
J^2^Kr=~y  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： tH#x>$p  
]9ibXia  
　　sin（π/2+α）= cosα /%;0e fy  
Ly,t@GV#  
　　cos（π/2+α）= -sinα gA6,[+M  
L,$Qs SVgC  
　　tan（π/2+α）= -cotα >HsP?t  
ngfw+vL\  
　　cot（π/2+α）= -tanα nfab >[X  
z "G6}  
　　sin（π/2-α）= cosα (jSehU[  
n}yaOz:UN  
　　cos（π/2-α）= sinα H_2KC%.0  
>\4|?E>=  
　　tan（π/2-α）= cotα Qi22]yew  
rxA';l>g  
　　cot（π/2-α）= tanα N}BV3N  
Iy->[3N  
　　sin（3π/2+α）= -cosα OF{USp^#C  
I3F)E^?A  
　　cos（3π/2+α）= sinα $X!']w;br  
<t )pV/%e  
　　tan（3π/2+α）= -cotα gz2jh\vun  
$D* +L  
　　cot（3π/2+α）= -tanα jBNs`y{  
F =O=s  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 'I:71_)AO  
9i J]Hu}(  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 6XE z:4Fs  
8 d'3  
　　tan（3π/2-α）= cotα : H'-u`]&  
\lusv<*Qk  
　　cot（3π/2-α）= tanα s}"0k4N  
,)L '@1  
　　(以上k∈Z) WaUBE$2  
2g.2 6 KS  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 !-i50Lu0Wa  
e6D0<_s  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = NIzGM@  
(;&UT6*  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } c&UYXd7 i  
qSNXcm  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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